Architektura komputera

Sposoby przedstawiania liczb – zasada systemu pozycyjnego

Termin „liczba” kojarzy się nam na ogół z jej zapisem w systemie dziesiętnym. Ta sama liczba może  być przedstawiona na wiele sposobów. Wybór reprezentacji dyktują  warunki techniczne. Symbole używane do zapisu liczb nazywamy cyframi. W życiu codziennym do zapisu liczb używamy tak zwanego pozycyjnego systemu dziesiętnego.

System dziesiętny

Polega on na tym, że liczby przedstawia się za pomocą 10 symboli cyfrowych (bo jest to system dziesiętny), a mianowicie 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 zaś znaczenie cyfry zależy nie tylko od niej samej, ale i od jej pozycji (miejsca) w stosunku do innych cyfr (stąd nazwa systemu pozycyjnego).

Na przykład liczba 77₁₀ ( Indeks „₁₀” znajdujący za liczbą informuje w jakim systemie dana liczba jest zapisana) zawiera dwie takie same cyfry, ale ta na lewo oznacza siedem dziesiątek a ta na prawo tylko siedem jednostek.

OGÓLNA ZASADA SYSTEMU POZYCYJNEGO JEST TAKA, ŻE KOLEJNE POZYCJE, IDĄC OD PRAWEJ STRONY DO LEWEJ, OZNACZAJĄ CORAZ WYŻSZE POTĘGI TAK ZWANEJ PODSTAWY SYSTEMU. Dla systemu dziesiętnego podstawą systemu jest oczywiście DZIESIĘĆ. Stąd kolejne pozycje w systemie dziesiętnym oznaczają:

             ...               10³ = 1000           10² = 100              10¹ = 10                10⁰ = 1

       Liczbę                             Liczbę                                Liczbę                          Liczbę

      tysięcy                            setek                                   dziesiątek                     jednostek

Przykład:             638₁₀ =  6•10² + 3•10¹ + 8•10⁰

W tym zapisie każda cyfra znajdująca się o jedną pozycję w lewo jest zawsze dziesięciokrotnie większa od analogicznej cyfry stojącej obok niej z prawej strony.

W pozycyjnym systemie dziesiętnym największą liczbę, jaka można zapisać przy użyciu pojedynczej cyfry jest liczba dziewięć a liczbę dziesięć zapisuje się już przy użyciu dwóch cyfr: 1 i 0.

Nieprzydatność systemu dziesiętnego w urządzeniach komputera 

System dziesiętny przedstawiania liczb stosowany powszechnie w nauce, technice i życiu codziennym, okazał się bardzo niewygodny w maszynach elektronicznych.

Przy przechowywaniu liczb w urządzeniu technicznym korzystnie jest wartość każdej cyfry przedstawić jako stan pewnego zjawiska fizycznego, np. napięcia na kondensatorze. W systemie dziesiętnym (systemie o podstawie 10) należałoby dziesięciu cyfrom przypisać dziesięć różnych wartości napięcia. Rozpoznawanie cyfry, zakodowanej w formie napięcia, wymagałoby niezawodnego rozróżniania tych napięć, podobnie jak czyni to woltomierz cyfrowy. Jest to technicznie możliwe, lecz w każdym razie gdyby taki układ zbudowano, to pracowałby on niestabilnie. Z tego względu urządzenia elektroniczne preferują tzw. SYSTEM DWÓJKOWY (binarny), gdyż łatwiej i pewniej jest używać tylko dwóch skrajnych stanów, np. 0 Volt i napięcia zbliżonego do pewnej wartości maksymalnej, przypuśćmy 5 Volt. Technologia wytwarzania elementów dwustanowych jest prosta i tania, co decyduje o opłacalności produkcji masowej.

System dwójkowy

Jeśli za podstawę systemu przyjmujemy liczbę DWA to otrzyma się SYSTEM DWÓJKOWY. W systemie dwójkowym istnieją tylko dwie cyfry: 0;1 za pomocą których możemy zapisać dowolną liczbę. Dowolna liczba dwójkowa zawiera więc same zera i jedynki.

W systemie dwójkowym największą liczbę, jaka można przedstawić przy użyciu pojedynczej cyfry jest liczba jeden.

Ponieważ podstawą systemu jest liczba dwa, kolejne pozycje oznaczają:

             ...               2³ = 8                    2² = 4                     2¹ = 2                    2⁰ = 1

                            Liczbę                               Liczbę                             Liczbę                               Liczbę

                                     ósemek                             czwórek                         dwójek                           jednostek

               

Na przykład, jeśli ktoś posługujący się systemem dwójkowym napisze 1011₂, to ma na myśli: 1•2³+0•2²+1•2¹+1•2⁰  czyli liczbę, którą w systemie dziesiętnym zapisuje się tak: 11₁₀

Dwójkowy zegarek pokazujący godzinę 3:25

System szesnastkowy

Gdy za podstawę systemu przyjęta zostanie liczba SZESNAŚCIE to otrzyma się SYSTEM SZESNASTKOWY - tzw. system heksadecymalny o podstawie 16 który nie jest używany bezpośrednio przez układy cyfrowe. Używa się go głównie do prezentacji niektórych danych m.in. adresów komórek pamięci.

.

W systemie szesnastkowym kolejne miejsca w liczbie oznaczają:

             ...               16² = 256             16¹ = 16                16⁰ = 1

                                Liczbę                            Liczbę                           Liczbę

                                        dwustu–                           szesnastek                jednostek 

                                        pięćdziesiątek–                                                                                                         

                                        szóstek

Istnieje w nim 16 cyfr : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B,C, D, E, F

Do zapisania cyfr dziesięć, jedenaście,... piętnaście, wykorzystano litery od A do F.

Jeżeli ktoś posługujący się systemem szesnastkowym napisze  1A3₁₆, to ma na myśli:

1•16²+10•16¹+3•16⁰, czyli liczbę, która w systemie dziesiętnym zapisuje się jako 419₁₀.

Największą liczbę, jaka można zapisać w systemie szesnastkowym za pomocą  pojedynczej cyfry jest liczba  piętnaście (litera F).

Relacje pomiędzy poszczególnymi  systemami numeracji

  

System dziesiętny	System dwójkowy	System szesnastkowy
0	0000	0
1	0001	1
2	0010	2
3	0011	3
4	0100	4
5	0101	5
6	0110	6
7	0111	7
8	1000	8
9	1001	9
10	1010	A
11	1011	B
12	1100	C
13	1101	D
14	1110	E
15	1111	F

Konwersja systemów

Ponieważ komputer posługuje się systemem dwójkowym, a ludzie – dziesiętnym, przekształcenie postaci zapisu liczb (tzw. konwersja systemów) z systemu dwójkowego na dziesiętny i odwrotnie jest czynnością dość częstą.

Konwersja dwójkowo – dziesiętna

Ponieważ podstawą liczenia systemu dwójkowego jest liczba DWA (zapisywana jako 10 – czytaj: jeden zero) to kolejne pozycje oznaczają (wagi bitów):

Nr bitu	7	6	5	4	3	2	1	0
Waga bitu	27 = 128	26=64	25=32	24=16	23=8	22=4	21=2	20=1

Bity są ponumerowane od prawej do lewej, zaczynając od 0. WAGA BITU to podstawa systemu podniesiona do potęgi odpowiadającej numerowi bitu. Waga bitu zerowego wynosi 1. We wszystkich systemach pozycyjnego zapisu liczb całkowitych, skrajnie prawa pozycja jest zawsze równa liczbie 1 bo jest to podstawa systemu do potęgi zero.

Aby znaleźć dziesiętny odpowiednik liczby dwójkowej najprościej dokonać jej rozwinięcia. Każdej pozycji przypisana jest waga, a wykładnikiem potęgi jest numer pozycji.

Np.: Liczba 10100₂₎ = 1^x2⁴ + 0^x2³ + 1^x2² + 0^x2¹ +0^x2⁰

^{=1*16 =0*8+1*4+0*2+0*1=      20}

Konwersja dziesiętno – dwójkowa

W celu przekształcenia liczby wyrażonej w systemie dziesiętnym na system dwójkowy należy liczbę tę dzielić kolejno przez 2, dopóki iloraz nie będzie równy zero. Po każdym dzieleniu należy zapisać otrzymaną resztę. Zapis liczby w systemie dwójkowym otrzymamy odczytując kolejno reszty z dzielenia, począwszy od ostatniej reszty do pierwszej.

PRZYKŁAD: przekształcenie liczby 437₁₀ na liczbę zapisaną w systemie dwójkowy.

Dzielenie   Iloraz          Reszta

przez 2       cząstkowy

437 : 2        218              1

218 : 2        109              0

109 : 2        54                1

54 : 2          27                0

27 : 2          13                1

13 : 2          6                   1

6 : 2             3                   0

3 : 2             1                   1

1 : 2             1                   1

WYNIK : 110110101₂ (kierunek odczytywania - od dołu)

Liczba dziesiętna 437₁₀ ma w systemie dwójkowym postać 110110101₂

Powyższa metoda tłumaczenia liczb z systemu dziesiętnego na dwójkowy może być zastosowana wyłącznie do liczb całkowitych.

Konwersja szesnastkowo – dziesiętna 

W celu znalezienia wartości liczby szesnastkowej w zapisie dziesiętnym należy zastosować ten sam algorytm, który został podany dla konwersji dwójkowo – dziesiętnej.

Przykład

Znajdź wartość następującej liczby szesnastkowej w zapisie dziesiętnym:

C1C0A6E₁₆

C1C0A6E₁₆ = 12•16⁷+1•16⁶+12•16⁵+0•16⁴+8•16³+10•16²+6•16¹+14•16⁰ = 3250621038₁₀

Konwersja dziesiętno – szesnastkowa

Konwersja ta przebiega zgodnie z algorytmem podanym dla konwersji dziesiętno – binarnej (dwójkowej), przy czym dzielnikiem jest tu liczba 16. Liczba dzieleń jest równa liczbie cyfr zapisu szesnastkowego. Odczytanie wartość liczby dziesiętnej odpowiadającej liczbie heksadecymalnej 4C2 ₍₁₆₎ polega na następujących działaniach:

4C2 ₍₁₆₎= 4^x16² + C^x16¹ + 2^x16⁰

4C2 ₍₁₆₎ = 4^x256 + 12^x16 + 2^x1

4C2 ₍₁₆₎ = 1218 ₍₁₀₎

_Lub 4C2 _H = 1218 _D

Zasady wykonywania działań arytmetycznych w systemie dwójkowym

Dodawanie

Dwie liczby dwójkowe dodaje się tak jak dwie liczby dziesiętne tzn. dodaje się najpierw ostatnią cyfrę jednej liczby do ostatniej cyfry drugiej liczby, następnie przedostatnią cyfrę pierwszej liczby do przedostatniej cyfry drugiej liczby itd., ponieważ jednak w liczbach dwójkowych występują jedynie cyfry 0 i 1, to przy dodawaniu występują tylko 3 następujące przypadki:

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 1 = 10 ( 1+1 daje nam zero w danej pozycji cyfrowej oraz przeniesienie 1 do następnej pozycji).

W systemie dziesiętnym 1+1=2, ale w systemie dwójkowym liczbę 2 zapisuje się jako 10

Stosując te zasady łatwo dodać do siebie dwie przykładowe liczby dwójkowe:

    0 0 0 1 0 1 1 0        (dwadzieścia dwa)                                               1•2⁴+0•2³+1•2²+1•2¹+0•2⁰= 22₁₀

+ 0 0 0 0 1 0 1 1        (jedenaście)                                                                      1•2³+0•2²+1•2¹+1•2⁰= 11₁₀

    ––––––––––– 

    0 0 1 0 0 0 0 1        (trzydzieści trzy)                                       1•2⁵+0•2⁴+0•2³+0•2²+0•2¹+1•2⁰= 33₁₀

Nieco trudniejsza jest operacja dodawania, gdyby trzeba dodać nie dwie liczby, jak w podanym przykładzie, lecz cały szereg liczb. W tym wypadku pewne kłopoty sprawia pamiętanie jedynek przenoszonych do starszych pozycji cyfrowych. Aby nie komplikować schematów liczących komputera ta trudność rozwiązana została w ten sposób, że w urządzeniach arytmetycznych komputera są sumowane wyłącznie 2 liczby. Do sumy 2 liczb dodaje się liczbę trzecią, do sumy 3 liczb liczbę czwartą itd.

Przykład

Dodaj do siebie w zapisie dwójkowym następujące liczby dziesiętne 16; 23; 61; 95

        00010000₂         (16₁₀)

        00110111₂         (23₁₀)

        01010001₂         (81₁₀)

+     01011111₂         (95₁₀)

        –––––––

        11010111₂         (215₁₀)

Odejmowanie

Kod prosty liczby (KP)

Wprowadzamy pozycję znaku (po lewej stronie)

Zapis znaku:

L ≥ 0 to znak = 0

L ≤ 0 to znak = 1

Znak oddzielamy od liczby kropką

+14₁₀ to 0.00001110₂

–14₁₀ to 1.00001110₂

Kod uzupełnieniowy(KU) liczby

Kod uzupełnieniowy (dopełnieniowy) liczby która jest nie ujemna = kodowi prostemu (KP)

Kod uzupełnieniowy liczby ujemnej:

-          Przepisać znak bez zmian

-          zanegować wszystkie bity(zamieniamy 0 na 1 i 1 na 0)

-          dodać 1 do wyniku

Oto jak wyznaczyć dwójkową postać liczby – 14₁₀:

      1.00001110₂          –14₁₀

      1.11110001₂          negacja wszystkich bitów (znak pozostaje bez zmian)

+   0.00000001₂          inkrementacja (dodajemy liczbę jeden)

      ––––––––––

      1.11110010₂    

W identyczny sposób można zmienić na przeciwny, znak liczby ujemnej:

      1.11110010₂          –14₁₀

      1.00001101₂          negacja wszystkich bitów

+   0.00000001₂          inkrementacja

      ––––––––––

      0.00001110₂    

System uzupełnienia dwójkowego jest korzystny z technicznego punktu widzenia. Z odejmowania można zrezygnować, zastępując je prostą negacją i dodawaniem, zaś dodawanie liczb dodatnich i ujemnych jest prowadzone w myśl jednolitych reguł. Działanie:

+7 – 7 można zastąpić działaniem +7₁₀ + (–7₁₀)

Przykład:

Wykonujemy działanie 8₁₀ – 13₁₀

Na początku zapiszemy liczbę – 13₁₀ używając kodu uzupełniającego:

      1.00001101₂              –13₁₀

      1.11110010₂              negacja wszystkich bitów

+   0.00000001₂              inkrementacja

      –––––––––

     1.11110011₂       

Następnie wykonujemy dodawanie liczby 8₁₀ + (–13₁₀)

      0.00001000₂                8₁₀

+   1.11110011₂              –13₁₀

      –––––––––

      1.11111011₂             

Jeżeli wynik jest ujemny (liczba 1 przed kropką) to należy go przenieść z kodu uzupełniającego na kod prosty wykonując następujące czynności:

-          Przepisać znak bez zmian

-          zanegować wszystkie bity(zamieniamy 0 na 1 i 1 na 0)

-          dodać 1 do wyniku

-          znak zostawiamy bez zmian

      1.11111011₂              –5₁₀ K. uzupełniający

      1.00000100₂              negacja wszystkich bitów

+   0.00000001₂              inkrementacja

      –––––––––

     1.00000101₂        –5₁₀ K. prosty

Jeżeli wynik jest ≥ 0 to KU = KP

Mnożenie

Mnożenie w systemie dwójkowym wykonuje się tak jak w systemie dziesiętnym, metodą mnożenia przez poszczególne cyfry mnożnika oraz sumowania otrzymanych w ten sposób cząstkowych iloczynów.

Ponieważ w liczbach dwójkowych występują jedynie cyfry 0 i 1, to przy mnożeniu występują tylko następujące przypadki:

0 • 0 = 0

0 • 1 = 0

1 • 0 = 0

1 • 1 = 1

Posługując się tymi regułami można pomnożyć dwie dowolne liczby dwójkowe.

Przykład

Wykonamy działanie 14₁₀ • 15₁₀ = 210₁₀

                                1    1    1    0₂              Liczba 14₁₀

•                             1    1    1    1₂              Liczba 15₁₀

–––––––––––––––––––––

+                             1    1    1    0              

                         1    1    1    0                    

                   1    1    1    0                           

             1    1    1    0   

–––––––––––––––––––––                                                     

      1    1    0    1    0    0    1    0₂              Liczba 210₁₀

Sprawdzenie:

1•2⁷+1•2⁶+0•2⁵+1•2⁴+0•2³+0•2²+1•2¹+0•2⁰ = 210₁₀

Dzielenie

Dzielenie w systemie dwójkowym wykonuje się pisemnie tak jak w systemie dziesiętnym.

Przykład

Podziel liczbę 85₁₀ przez 5₁₀ w systemie dwójkowym.

85₁₀          →          1010101₂

5₁₀           →          101₂

     0  0  1  0  0  0  1                 

     1  0  1  0  1  0  1₂     :   1  0  1₂

     1  0  1                                   

     0  0  0  0  1  0  1                 

                      1  0  1                 

                      0  0  0                 

0  0  1  0  0  0  1₂         →         17₁₀

        

Ćwiczenie 1

Zamień do postaci dwójkowej liczby dziesiętne  16₁₀, 31₁₀,65₁₀

Obliczyć wartość dziesiętną liczby dwójkowej 11100101₍₂₎ , 10101010₍₂₎ ,11111111₍₂₎

Ćwiczenie 2

Zamień do postaci dziesiętnej liczby heksadecymalne: 10 _H , 1A _{H ,} 100 _{H ,} BABA _{H .}

Ćwiczenie 3

Wykonaj w systemie dwójkowym działania na liczbach:  100₁₀+50₁₀, 99₁₀+1₁₀, 199₁₀+100₁₀

Ćwiczenie 4

Wykonaj w systemie dwójkowym działania na liczbach: 8₁₀*8₁₀, 6₁₀*12₁₀, 11₁₀*11₁₀

Ćwiczenie 5

Wykonaj w systemie dwójkowym działania na liczbach: podziel 126₁₀ przez 21_10, podziel 246₁₀ przez 3₁₀

_{Ćwiczenia wykonaj w edytorze tekstu i prześlij w postaci pliku o nazwie jak w nagłówku tego tekstu na adres pocztowy wskazany przez prowadzącego.}